Objeto exponencial

Dados objetos x, y numa categoria C com todos os produtos binários, um objeto exponencial é um objeto x^y junto a uma seta universal ap : x^y × y → x do functor – × y ao objeto x. Noutras palavras, para cada objeto z ∈ C e seta e : z × y → x, existe única seta u : z → x^y tal que e = ap ∘ (u × 1_y).[1]

Uma categoria é dita cartesiana fechada quando tem todos os produtos finitos (inclusive o objeto terminal) e cada dupla de objetos tem um correspondente objeto exponencial. Neste caso, há adjunção de duas variáveis

$${\displaystyle \hom _{C}(a\times b,c)\cong \hom _{C}(a,c^{b})\cong \hom _{C}(b,c^{a});}$$

em particular, (a, c) ↦ c^a estende-se a um functor C^op × C → C.[2][3]

• A categoria dos conjuntos é cartesiana fechada: X^Y é o conjunto de funções de Y a X, e ap(f, y) = f(y) ∈ X.[2]
• A categoria dos módulos sobre um anel comutativo fixo não precisa ser cartesiana fechada, mas satisfaz uma condição similar na qual o produto × é substituído pelo produto tensorial.[2] (É então uma categoria monoidal fechada.[4])
• A categoria dos espaços de Hausdorff compactamente gerados é cartesiana fechada. (Um espaço topológico X é dito compactamente gerado quando, para cada subconjunto A ⊆ X cuja interseção com cada subconjunto compacto de X é fechada, A é fechado.)[3][5]

Uma categoria C é dita ser localmente cartesiana fechada quando, para cada objeto a de C, a categoria C/a é cartesiana fechada. (Aqui C/a denota a categoria vírgula id_C ↓ (• ↦ a), isto é, a categoria cujos objetos são setas de contradomínio a, e cujas setas (f : b → a) → (g : c → a) são setas h : b → c de C tais que g ∘ h = f.)[6]

Seja C categoria localmente cartesiana fechada (em particular, admitindo produtos fibrados). Para cada morfismo k : a → b de C, existe functor k^* : C/b → C/a dado por pullback; isto é, k^* leva um morfismo

h : (f : c → b) → (g : d → b)

de C/b ao morfismo

k^* h : k^* f → k^* g

onde no diagrama

$${\displaystyle {\begin{matrix}k^{*}c&\to &c\\k^{*}h\downarrow &&\downarrow h\\k^{*}d&\to &d\\k^{*}g\downarrow &&\downarrow g\\a&{\underset {k}{\to }}&b\end{matrix}}}$$

o quadrado inferior e o retângulo exterior são diagramas de produto fibrado.

Neste caso, existem duas adjunções

Σ_k ⊣ k^* ⊣ Π_k

onde o functor Σ_k é chamado de soma dependente e o functor Π_k é chamado de produto dependente. O functor Σ_k : C/a → C/b é definido por composição com k : a → b. No caso particular em que b é objeto terminal 1 de C, caso em que C/1 é isomorfa a C, o functor Π_k : C/a → C é dado por levar f : c → a ao objeto Γ f, onde

$${\displaystyle {\begin{matrix}\Gamma f&\to &c^{a}\\\downarrow &&\downarrow f^{a}\\1&{\underset {j}{\to }}&a^{a}\end{matrix}}}$$

é diagrama de produto fibrado, em que j : 1 → a^a é transposta da identidade 1 × a ≅ a → a pela adjunção exponencial.

A origem dos nomes soma dependente e produto dependente pode ser explicada no caso particular C = Set. A categoria Set/a é equivalente à categoria de famílias de conjuntos indexadas por a; com efeito, uma função f : b → a corresponde à família das pré-imagens

{ f^←{x} }_{x ∈ a},

enquanto que uma família {A_x}_{x ∈ a} corresponde à projeção

∑_x∈a A_x → a

do coproduto (união disjunta). Por meio dessa equivalência, k^* torna-se functor de troca de índices,

k^* {B_y}_{y ∈ b} = {B_k(x)}_{x ∈ a};

já Σ_k e Π_k tornam-se os functores

Σ_k {A_x}_{x ∈ a} = {∑_{x ∈ a, k(x) = y} A_x}_{y ∈ b},

Π_k {A_x}_{x ∈ a} = {∏_{x ∈ a, k(x) = y} A_x}_{y ∈ b};

estes são somas e produtos de membros da família, cujos índices dependem de k.[7][6]

• RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.]
• MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8
• MAC LANE, Saunders; MOERDIJK, Ieke (1992), Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, ISBN 978-0-387-97710-2 1 ed. , Springer