Functor

Na matemática, mais precisamente teoria das categorias, um functor ou funtor[1] é um mapeamento entre categorias, preservando domínios, contradomínios, identidades e composições, analogamente a como, por exemplo, um homomorfismo de grupos preserva o elemento neutro e a operação do grupo.

Segundo Saunders Mac Lane, o conceito de functor foi, pela primeira vez, reconhecido na topologia algébrica, no estudo de grupos de homologia.[2]

Definição

Dadas categorias $C$ e $D$ , um functor de $C$ até $D$ , escrito $F : C \to D$ , consiste

de uma atribuição, a cada objeto $x \in C$ , de um objeto $F (x) \in D$ ,
de uma atribuição, a cada morfismo $f : x \to y$ , de um morfismo $F x, y (f) = F (f) : F (x) \to F (y)$ , (equivalentemente, $dom(F (f)) = F (dom(f))$ e $cod(F (f)) = F (cod(f))$ )

satisfazendo

$F (1 x) = 1 F (x)$ para cada objeto $x \in C$ ,
$F (g \circ f) = F (g) \circ F (f)$ para cada dupla de morfismos $f : x \to y$ e $g : y \to z$ .

Chama-se esse $F : C \to D$ mais explicitamente de functor covariante. Há, também, o conceito de functor contravariante[nota 1][3] de $C$ até $D$ , atribuindo, a cada morfismo $f : x \to y$ , um morfismo $G (f) : F (y) \to F (x)$ , satisfazendo $G (1 x) = 1 G (x)$ e $G (g \circ f) = G (f) \circ G (g)$ ; os functores contravariantes de $C$ até $D$ estão em correspondência biunívoca com os functores covariantes $C op \to D$ , em que $C op$ denota a categoria oposta a $C$ .

Por vezes, em vez de se dizer que $F$ é functor (covariante ou contravariante), diz-se que a atribuição $x \mapsto F (x)$ é functorial.[2][4][5][6]

Exemplos

Dadas $A$ e $B$ categorias, com objeto $b \in B$ , há o functor constante $Δ(b) : A \to B$ , com atribuição $\Delta (b)(x{\xrightarrow {f}}y)=b{\xrightarrow {1_{b}}}b.$
Se $Set$ denota a categoria dos conjuntos pequenos, há $Q$ functor contravariante de $Set$ a $Set$ , com atribuição $Q(A{\xrightarrow {f}}B)=\operatorname {P} (B){\xrightarrow {S\mapsto f^{\leftarrow }(S)}}\operatorname {P} (A),$ em que $P(A)$ é o conjunto de partes de $A$ , e $f \leftarrow (S)$ é a pré-imagem de $S$ por $f$ .
Se $K - Vet$ denota a categoria dos espaços vetoriais pequenos sobre um corpo $K$ , há functor contravariante $(_) *$ de $K - Vet$ de $K - Vet$ , com correspondência $(U{\xrightarrow {\Lambda }}V)^{*}=V^{*}{\xrightarrow {f\mapsto f\circ \Lambda }}U^{*},$ em que $U * = hom K (U, K)$ denota o espaço dual a $U$ .
A atribuição de cada espaço com base $(X, x)$ ao correspondente grupo fundamental $π 1 (X, x)$ é functorial.[7][4]

Bifunctor

Um bifunctor é um functor cujo domínio é um produto de categorias $B \times C$ . Dado bifunctor $F : B \times C \to D$ e objeto $c \in C$ , o functor $F (-, c) : B \to D$ é definido por:

F(-,c)(b{\xrightarrow {f}}b')=F((b,c){\xrightarrow {(f,1_{c})}}(b',c)).

De forma análoga, há o functor $F (b, -) : C \to D$ .[8]

Categoria de categorias e functores

Para cada $U$ universo de Grothendieck, há a categoria $U{\text{-}}{\mathsf {Cat}}$ (ou, brevemente, ${\mathsf {Cat}}$ ) cujos objetos são as categorias que pertencem a $U$ e cujos morfismos são os functores entre essas categorias.[9][4]

Um conceito similar é a categoria de functores $D C$ , cujos objetos são os functores $C \to D$ , e cujos morfismos são as transformações naturais entre esses functores.[10]

Functor hom

Seja $C$ uma categoria. Denotando-se por ${\textsf {Set}}$ uma categoria de conjuntos suficientemente grande, há functor[11]

\mathrm {hom} :C^{\mathrm {op} }\times C\rightarrow {\textsf {Set}}

em que $\mathrm {hom} (X,Y)$ é o conjunto de morfismos $X\rightarrow Y$ , e, dados $f:X'\rightarrow X$ , $g:Y\rightarrow Y'$ morfismos em $C$ ,

\mathrm {hom} (f,g)=g\circ {\text{-}}\circ f=(k\mapsto g\circ k\circ f):\mathrm {hom} (X,Y)\rightarrow \mathrm {hom} (X',Y').

Ligações externas

Notas

O nome cofunctor é usado, mas não é recomendado.

Referências

Português à letra. «Functor ou Funtor». Consultado em 30 de março de 2020
(Mac Lane, §I.3, §II.2)
Vergura, Marco (setembro de 2015). «Is "cofunctor" an accepted term for contravariant functors? – Math.Stackexchange»
(Riehl, §1.3)
(Adámek, Herrlich, Strecker, §I.3.17)
(Aluffi, §VIII.1.1)
(Adámek, Herrlich, Strecker, §I.3.20)
(Mac Lane, §II.3)
(Mac Lane, §I.3, §I.6)
(Mac Lane, §II.4)
(Mac Lane, §II.2, §II.3)

Bibliografia

ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.]
ALUFFI, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. Col: Graduate Studies in Mathematics 1 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4781-7
MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8
RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.]

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[3] O nome cofunctor é usado, mas não é recomendado.

[portaletra-1] Português à letra. «Functor ou Funtor». Consultado em 30 de março de 2020

[maclaneDef-2] (Mac Lane, §I.3, §II.2)

[mathse-4] Vergura, Marco (setembro de 2015). «Is "cofunctor" an accepted term for contravariant functors? – Math.Stackexchange»

[riehlDef-5] (Riehl, §1.3)

[accDef-6] (Adámek, Herrlich, Strecker, §I.3.17)

[aluffiDef-7] (Aluffi, §VIII.1.1)

[accExemplo-8] (Adámek, Herrlich, Strecker, §I.3.20)

[maclaneBifunctor-9] (Mac Lane, §II.3)

[maclaneCat-10] (Mac Lane, §I.3, §I.6)

[maclaneFunc-11] (Mac Lane, §II.4)

[12] (Mac Lane, §II.2, §II.3)