Pares Ranqueados

Para contar os votos, consider a preferência de cada eleitor. Por exemplo, se um eleitor disser "A > B > C" (A é melhor que B, e B é melhor que C), a contagem deve adicionar um voto para A em A vs. B, um voto para A para A vs. C, e um voto em B para B vs. C. Eleitores também podem expressar indiferença (ex: A = B). Candidatos não mencionados são presumidos como sendo piores que todos os candidatos mencionados.

Com a contagem pronta, pode-se determinar as maiorias. Se "Vxy" é o número de votos em que x é preferido a y, então x vence se Vxy > Vyx, e y vence se Vyx > Vxy.

Os pares de vencedores, chamados de "maiorias", são então ordenados da maior para a menor. A maioria x precede a maioria y se, e somente se, uma das seguintes condições é verdadeira:

1. Vxy > Vzw. Em outras palavras, a maioria que tem mais suporte para é alternativa ranqueada primeiro.
2. Vxy = Vzw e Vwz > Vyx. Quando maiorias são iguais, a maioria com a menor oposição de minoria é ranqueada primeiro.[nota 1]

A próxima etapa é examinar cada par e decidir quais devem ser "travados". Isso pode ser visualizado desenhando uma flecha do vencedor do par para o perdedor do par em um grafo orientado. Usando a lista ordenada acima, trave cada par a não ser que esse par cause uma circularidade no grafo (por exemplo, A ganha de B, B ganha de C e C ganha de A).

No grafo resultante, a fonte (o nó que não recebe flechas) corresponde ao vencedor. Uma fonte sempre existirá porque o grafo é, pela sua construção, um grafo  acíclico orientado, e tais grafos sempre tem fontes. and such graphs always have sources. Na ausência de empates nos pares, a fonte também é única (porque sempre que dois nós parecessem ser fontes, não haveria razão válida para não conecta-los, deixando apenas um como a fonte).

Imagine que o Tenesi, um dos estados dos Estados Unidos, está tendo uma eleição para escolher qual será a sua capital. A população do Tenesi é concentrada em torno de suas quatro maiores cidades as quais são dispersas pelo estado. Para este exemplo, suponha que o eleitorado inteiro do estado vive nessas quatro cidades e que todos querem morar tão perto da capital quanto o possível.

As quatro candidatas à capital são:

• Memphis, a maior cidade do estado, com 42% dos eleitores, mas localizada longe das demais
• Nashville, com 26% dos eleitores e no centro do estado
• Knoxville, com 17% dos eleitores
• Chattanooga, com 15% dos eleitores

As preferências dos eleitores seriam divididas assim:

Os resultados seriam tabulados como abaixo:

• [A] indica os eleitores que preferiram o candidato indicado na coluna em relação ao candidato indicado na linha.
• [B] indica os eleitores que preferiram o candidato indicado na linha em relação ao candidato indicado na coluna.

Primeiramente, liste cada par e determine o vencedor:

Note que a contagem absoluta dos votos pode ser usada assim como as porcentagens. Não há diferença entre uma abordagem e outra porque o que importa é a razão dos votos entre os candidatos.

Os votos são então ordenados. A maior maioria é  "Chattanooga melhor que Knoxville"; 83% dos eleitores preferem Chattanooga. Nashville (68%) ganha tanto de  Chattanooga quanto de Knoxville com uma pontuação de  68% contra 32% (um empate, algo improvável na vida real com tantos eleitores). Como Chattanooga > Knoxville, e ambos são perdedores, Nashville vs. Knoxville será adicionado primeiro, seguido de Nashville vs. Chattanooga.

Por tanto, os pares ficam ordenados da seguinte forma:

Os pares são então travados em ordem, pulando qualquer par que geraria uma ciclo:

• Trave Chattanooga melhor que Knoxville.
• Trave Nashville melhor que Knoxville.
• Trave Nashville melhor que Chattanooga.
• Trave Nashville melhor que Memphis.
• Trave Chattanooga melhor que Memphis.
• Trave Knoxville melhor que Memphis.

Nesse caso, nenhum ciclo é criado por qualquer par, logo todos são travados.

Cada par "travado" adiciona uma flecha mostrando a relação entre os candidatos. Aqui está o grafo final: (as setas saem do ganhador e apontam para o perdedor)

Nesse exemplo, Nashville é o ganhador usando PR, seguida por Chattanooga, Knoxville, e Memphis em segundo,  terceiro, e quarto lugar respectivamente.

Para uma situação simples envolvendo os candidatos A, B, e C.

• A > B: 68%
• B > C: 72%
• C > A: 52%

Nessa situação, nós "travamos" as maiorias começando com a maior primeiro.

• Trave B > C
• Trave A > B
• C > A é ignorado porque levaria a uma ambiguidade/ciclo.

Por tanto, A é o vencedor.

Nesse exemplo de eleição, a ganhadora é Nashville. Isso seria verdade para qualquer método de Condorcet.

Usando o First-past-the-post voting e alguns outros sistemas como o de dois turnos, Memphis teria ganho a eleição por ter o maior número de votos, apesar de  Nashville ter ganho cada votação simulada par a par. Usando Instant-runoff voting nesse exemplo resultaria em Knoxville ganhando apesar de mais pessoas preferirem Nashville a Knoxville.

PR falha no critério das alternativas irrelevantes. Entretanto, o método adere a uma propriedade menos estrita, a independência de alternativas dominadas por Smith (IADS). Ela diz que se um candidato X ganha a eleição, e uma nova alternativa Y é adicionada, X ganhará a eleição se Y não está no conjunto de Smith. IADS implica o critério de Condorcet.

A seguinte tabela compara o método dos Pares Ranqueados com outros sistemas de votação preferencial de vencedor único: