Potencial newtoniano

Em matemática, o potencial newtoniano é um operador que age como uma espécie de inversa do operador ${\displaystyle -\triangle \,}$. Ou seja, se ${\displaystyle f\,}$ é um campo em ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\,}$, então o potencial newtoniano de ${\displaystyle f\,}$, ${\displaystyle {\mathcal {G}}*f\,}$ é definido como a solução ${\displaystyle \phi \,}$ do seguinte problema de Poisson:

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}\displaystyle -\triangle \phi =f,~~~x\in \mathbb {R} ^{n}\\\displaystyle \lim _{|x|\to \infty }|\phi (x)|/|x|^{3-n}=0\end{array}}\right.}$

contanto que a solução exista.

Quando visto como um operador convolução, o núcleo newtoniano é dado pelo núcleo de Poisson:

${\displaystyle {\mathcal {G}}(x)=\left\{{\begin{matrix}c_{1}\left|x\right|&:&d=1\\c_{2}\log {\left\|x\right\|}&:&d=2\\c_{d}\left\|x\right\|^{2-d}&:&d>2\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle c_{d}\,}$ é um constante de normalização e é tal que:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{d}}{\mathcal {G}}(x)=1,d\geq 2}$