Resultante

Em matemática, a resultante de dois polinômios mônicos $P$ e $Q$ sobre um corpo $k$ define-se como o produto:

\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{P(x)=0}\prod _{Q(y)=0}(y-x),\,

Das diferenças de suas raízes, de onde $x$ e $y$ tomam valores no fecho algébrico de $k$ . Para polinômios não-mônicos com coeficientes dominantes $p$ e $q$ , respectivamente, o produto acima é multiplicado por:

p^{\deg Q}q^{\deg P}.\,

Computação

A resultante é o determinante da matriz de Sylvester.

O produtório anterior pode ser reescrito como

\mathrm {res} (P,Q)=\prod _{Q(y)=0}P(y)\,

E esta expressão permanece invariante sem

P

reduz-se o módulo

Q

.

Propriedades

$\mathrm {res} (P,Q)=(-1)^{\deg P\cdot \deg Q}\cdot \mathrm {res} (Q,P)$
$\mathrm {res} (P\cdot R,Q)=\mathrm {res} (P,Q)\cdot \mathrm {res} (R,Q)$
Se $P'=P+R*Q$ e $\deg P'=\deg P$ , entãon $\mathrm {res} (P,Q)=\mathrm {res} (P',Q)$
Se $X,Y,P,Q$ possui o mesmo grau e $X=a_{00}\cdot P+a_{01}\cdot Q,Y=a_{10}\cdot P+a_{11}\cdot Q$ ,

então

\mathrm {res} (X,Y)=\det {\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}^{\deg P}\cdot \mathrm {res} (P,Q)

$\mathrm {res} (P_{-},Q)=\mathrm {res} (Q_{-},P)$ onde $P_{-}(z)=P(-z)$

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