Teorema da diferenciação de Lebesgue

Seja ${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,}$ um conjunto mensurável à Lebesgue e ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} \,}$ uma função localmente L^p, ou seja, ${\displaystyle f\in L_{loc}^{p}(E)\,}$. Então:

${\displaystyle \lim _{r\rightarrow 0^{+}}{\frac {1}{|B(x,r)|}}\int _{B(x,r)}\!|f(y)-f(x)|^{p}\,dy=0.}$ quase-sempre em ${\displaystyle E\,}$

Onde, ${\displaystyle B(x,r)\,}$ é a bola de centro ${\displaystyle x\,}$ e raio ${\displaystyle r\,}$, e ${\displaystyle |B(x,r)|\,}$ é a medida de Lebesgue da bola.

• Ponto de Lebesgue