Teorema de Lax–Milgram

Sejam :

• ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ um espaço de Hilbert munido de seu produdo escalar notado ${\displaystyle \langle .,.\rangle }$, da norma associada notada ${\displaystyle \|.\|}$
• ${\displaystyle a(.\,,\,.)}$ uma forma bilinear (ou uma forma sesquilinear se ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ é complexo) que é
  • contínua em ${\displaystyle {\mathcal {H}}\times {\mathcal {H}}}$ : ${\displaystyle \exists \,c>0,\forall (u,v)\in {\mathcal {H}}^{2}\,,\ |a(u,v)|\leq c\|u\|\|v\|}$
  • coerciva em ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ : ${\displaystyle \exists \,\alpha >0,\forall u\in {\mathcal {H}}\,,\ a(u,u)\geq \alpha \|u\|^{2}}$
• ${\displaystyle L(.)}$ uma forma linear contínua em ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$.

Sob essas hipóteses, existe um único ${\displaystyle u}$ de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ tal que a equação ${\displaystyle a(u,v)=L(v)}$ se verifica para todo ${\displaystyle v}$ de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ :

${\displaystyle (1)\quad \exists$ !\ u\in {\mathcal {H}},\ \forall v\in {\mathcal {H}},\quad a(u,v)=L(v)}

Se ainda a forma bilinear ${\displaystyle a}$ é simétrica, então ${\displaystyle u}$ é o único elemento de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ que minimiza o funcional ${\displaystyle J:{\mathcal {H}}\rightarrow \mathbb {R} }$ definido por ${\displaystyle J(v)={\tfrac {1}{2}}a(v,v)-L(v)}$ para todo ${\displaystyle v}$ de ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$, ou seja :

${\displaystyle (2)\quad \exists$ !\ u\in {\mathcal {H}},\quad J(u)=\min _{v\in {\mathcal {H}}}\ J(v)}

• Showalter, Ralph E. (1997). Monotone operators in Banach space and nonlinear partial differential equations. Col: Mathematical Surveys and Monographs 49. Providence, RI: American Mathematical Society. pp. xiv+278. ISBN 0-8218-0500-2 MR1422252 (chapter III)