Teorema do incremento

Em análise não padronizada, um campo da matemática, o teorema do incremento estabelece que: suponha que uma função y = f(x) é diferenciável em x e que Δx é infinitesimal. Então

${\displaystyle \Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon \,\Delta x\,}$

para um infinitesimal ε, sendo

${\displaystyle \Delta y=f(x+\Delta x)-f(x).\,}$

Se ${\displaystyle \scriptstyle \Delta x\not =0}$ então podemos escrever

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}=f'(x)+\varepsilon ,}$

implicando que ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}\approx f'(x)}$, ou em outras palavras que ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$ é infinitamente perto de ${\displaystyle \scriptstyle f'(x)\,}$, ou ${\displaystyle \scriptstyle f'(x)\,}$ é a parte standard de ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$.