Categoria dos conjuntos

Os axiomas de categoria são satisfeitos por Set porque a composição de funções é associativa e porque cada conjunto X tem uma função identidade id_X : X → X que serve como elemento identidade para a composição de funções.

Os epimorfismos em Set são as funções sobrejetivas, os monomorfismos são as unções injetivas e os isomorfismos são as funções bijetivas.

O conjunto vazio serve como o objeto inicial em Set tendo as funções vazias como morfismos. Cada singleto é um objeto terminal, tendo como morfismos as funções que mapeiam todos os elementos dos conjuntos de origem para o único elemento de destino. Portanto, não há nenhum objeto zero em Set.

A categoria Set é completa e cocompleta. O produto nesta categoria é dado pelo produto cartesiano de conjuntos. O coproduto é dado pela união disjunta: dados conjuntos A_i onde i varia sobre algum conjunto de índices I, o coproduto é construído como a união de A_i × {i} (o produto cartesiano com i serve para garantir que todos os componentes fiquem disjuntos).

Set é o protótipo de uma categoria concreta; outras categorias são concretas se forem "construídas sobre" Set de alguma forma bem definida.

Cada conjunto de dois elementos serve como um classificador de subobjeto em Set. O objeto potência de um conjunto A é dado por seu conjunto das partes, e o objeto exponencial dos conjuntos A e B é dado pelo conjunto de todas as funções de A para B. Set é, portanto, um topos (e em particular cartesiano fechada e exata no sentido de Barr).

Set não é abeliana, aditiva nem pré-aditiva.

Cada conjunto não vazio é um objeto injetivo em Set. Cada conjunto é um objeto projetivo em Set (assumindo o axioma de escolha).

Os objetos finitamente apresentáveis em Set são os conjuntos finitos. Visto que cada conjunto é um limite direto de seus subconjuntos finitos, a categoria Set é uma categoria finitamente apresentável localmente.

Se C é uma categoria arbitrária, os funtores contravariantes de C para Set são frequentemente um importante objeto de estudo. Se A é um objeto de C, então o funtor de C para Set que leva X em Hom_C(X, A) (o conjunto de morfismos em C de X para A) é um exemplo de tal funtor. Se C é uma categoria pequena (isto é, tal que a coleção de seus objetos forma um conjunto), então os funtores contravariantes de C para Set, juntamente com as transformações naturais como morfismos, formam uma nova categoria, uma categoria de functores conhecida como a categoria de pré-feixes em C.

Na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel, a coleção de todos os conjuntos não é um conjunto; isso segue do axioma da regularidade. Coleções que não são conjuntos são denominadas classes próprias. Não se pode lidar com classes próprias como se lida com conjuntos; em particular, não se pode escrever que essas classes próprias pertencem a uma coleção (um conjunto ou uma classe própria). Isso é um problema porque significa que a categoria dos conjuntos não pode ser formalizada diretamente neste cenário. Categorias como Set, cuja coleção de objetos forma uma classe própria, são conhecidas como categorias grandes, para distingui-las das categorias pequenas, cujos objetos formam um conjunto.

Uma maneira de resolver o problema é trabalhar em um sistema que conceda status formal às classes próprias, como a teoria dos conjuntos NBG. Nesse cenário, as categorias formadas por conjuntos são consideradas pequenas e aquelas (como Set) que são formadas por classes próprias são consideradas grandes.

Outra solução é assumir a existência de universos de Grothendieck. A grosso modo, um universo de Grothendieck é um conjunto que é ele próprio um modelo de ZF(C) (por exemplo, se um conjunto pertence a um universo, seus elementos e seu conjunto das partes pertencerão ao universo). A existência de universos Grothendieck (além do conjunto vazio e do conjunto${\displaystyle V_{\omega }}$ de todos os conjuntos hereditariamente finitos) não está implícita nos axiomas ZF usuais; é um axioma adicional independente, aproximadamente equivalente à existência de cardinais fortemente inacessíveis. Assumindo este axioma extra, pode-se limitar os objetos de Set aos elementos de um universo particular. (Não há "conjunto de todos os conjuntos" dentro do modelo, mas ainda se pode raciocinar sobre a classe U de todos os conjuntos internos, ou seja, elementos de U.)

Em uma variação desse esquema, a classe de conjuntos é a união de toda a torre dos universos de Grothendieck. (Esta é necessariamente uma classe própria, mas cada universo de Grothendieck é um conjunto porque é um elemento de algum universo Grothendieck maior.) No entanto, não se trabalha diretamente com a "categoria de todos os conjuntos". Em vez disso, os teoremas são expressos em termos da categoria Set_U cujos objetos são os elementos de um universo de Grothendieck U suficientemente grande e, então, é mostrado que não dependem da escolha particular de U. Como fundamento para a teoria das categorias, essa abordagem combina bem com um sistema como a teoria dos conjuntos de Tarski-Grothendieck, no qual não se pode raciocinar diretamente sobre as classes próprias; sua principal desvantagem é que um teorema pode ser verdadeiro para todos os Set_U, mas não para Set.

Várias outras soluções e variações das anteriores foram propostas.[1][2][3]

As mesmas questões surgem com outras categorias concretas, como a categoria dos grupos ou a categoria dos espaços topológicos.

• Teoria dos conjuntos
• Conjunto pequeno (teoria das categorias)

• Blass, A. A interação entre a teoria das categorias e a teoria dos conjuntos . Contemporary Mathematics 30 (1984).
• Feferman, S. Set-teórico fundações da teoria das categorias. Springer Lect. Notes Math. 106 (1969): 201–247.
• Lawvere, FW Uma teoria elementar da categoria de conjuntos (versão longa) com comentários
• Mac Lane, S. Um universo como base para a teoria das categorias. Springer Lect. Notes Math. 106 (1969): 192–200.
• Mac Lane, Saunders (setembro de 1998). Categories for the Working Mathematician. Springer. [S.l.: s.n.] ISBN 0-387-98403-8