Integral Gaussiana

A integral de uma função gaussiana arbitrária é obtida por simples troca de variáveis

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-(x+b)^{2}/c^{2}}\,dx=c{\sqrt {\pi }}.}$

ou de forma equivalente

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\pi }}\,e^{b^{2}/4+c},}$

Uma forma simples se calcular, cuja ideia remonta a Siméon Denis Poisson[1] é considerar a função e^{−(x2 + y2)} = e^−r2 no plano R², e calcular a mesma integral de duas formas:

• por um lado, a integral dupla no sistema de coordenadas cartesiano se escreve como um quadrado de integrais :

${\displaystyle \left(\int e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2};}$

• por outro, utilizando coordenadas polares, a integral pode ser calculada e vale ${\displaystyle \pi }$.

Comparando esses dois cálculos, demonstra-se o resultado.

A resolução da Integral Gaussiana pode ser dada da seguinte forma:

Denotaremos a integral por ${\displaystyle I}$, como se segue:

${\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}$

Essa integral é mais facilmente resolvida se a multiplicarmos pela Integral

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy.}$

Observemos que essa multiplicação nos dá ${\displaystyle I^{2}}$, pois os valores das duas integrais em ${\displaystyle y}$ e em ${\displaystyle x}$ são exatamente os mesmos.

${\displaystyle I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\int _{-\infty }^{\infty }e^{-y^{2}}\,dy=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}e^{-y^{2}}\,dx\,dy}$

${\displaystyle I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy}$.

A etapa seguinte consiste em mudarmos para coordenadas polares, observando que ${\displaystyle -x^{2}-y^{2}=-(x^{2}+y^{2})=-r^{2}}$. É coerente notar que a região de integração é todo o plano ${\displaystyle xy}$ , portanto ${\displaystyle r}$ deve percorrer de 0 até ${\displaystyle {\infty }}$ e o ângulo ${\displaystyle {\theta }}$ de 0 à 2${\displaystyle {\pi }}$ . Assim a integral

${\displaystyle I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d{\theta }}$

é mais fácil de ser calculada, pois aparece um fator ${\displaystyle r}$ que, utilizando o método de substituição de variáveis (ver Métodos de Integração) , será cancelado com o quociente 2${\displaystyle r}$. Podemos recorrer ao Teorema de Fubini calculando primeiramente a integral em ${\displaystyle r}$ e depois integrando o resultado em ${\displaystyle {\theta }}$ da seguinte forma :

${\displaystyle u=-r^{2}}$

${\displaystyle du=-2rdr}$

${\displaystyle -{\frac {du}{2r}}=dr}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\ =-\int _{0}^{\infty }e^{u}r\,{\frac {du}{2r}}\ =-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }e^{u}\,du\ =-{\frac {1}{2}}e^{-r^{2}}|_{0}^{\infty }=-{\frac {1}{2}}(0-1)={\frac {1}{2}}.}$

Teremos então:

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d{\theta }=\int _{0}^{2\pi }{\frac {1}{2}}\,d{\theta }={\frac {1}{2}}({2\pi }-0)={\pi }.}$

Portanto, finalizando a resolução, concluímos que:

${\displaystyle I^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d{\theta }={\pi }}$

${\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$