Integração por substituição

Antes de estabelecer o resultado rigorosamente, consideremos um caso simples usando integral indefinida.

Calcular ${\displaystyle \textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx}$.[2]

Definir ${\displaystyle u=2x^{3}+1}$. Isto significa que ${\displaystyle \textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2}}$, ou, na forma diferencial ${\displaystyle du=6x^{2}\,dx}$. Assim

${\displaystyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C}$,

onde ${\displaystyle C}$ é uma constante arbitrária de integração.

Este procedimento é usado frequentemente, porém nem todas as integrais são de uma forma que permita seu uso. De qualquer forma, o resultado deve ser verificado mediante derivação e comparação com o integrando original.

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).}$

Para integrais definidas os limites de integração também devem ser ajustados, mas o procedimento é basicamente o mesmo.

Seja φ : [a,b] → I uma função diferenciável com derivada contínua, onde I ⊆ R é um intervalo. Suponha que f : I → R é uma função contínua. Então[3]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du.}$

Na notação de Leibniz, a substituição u = φ(x) fornece

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=\varphi '(x).}$

Trabalhando euristicamente com infinitesimais resulta a equação

${\displaystyle du=\varphi '(x)\,dx,}$

que sugere a fórmula de substituição acima. (Esta equação pode ser colocada em uma base rigorosa interpretando-a como uma afirmação sobre formas diferenciais.) Pode-se ver o método de integração por substituição como uma justificativa parcial da notação de Leibniz para integrais e derivadas.

A fórmula é usada para transformar uma integral em outra integral que seja mais fácil de calcular. Assim, a fórmula pode ser lida da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda para simplificar uma dada integral. Quando usada da maneira anterior, às vezes é conhecido como substituição u ou substituição w, em que uma nova variável é definida como uma função da variável original encontrada dentro da função composta multiplicada pela derivada da função interna. A última maneira é comumente usada na substituição trigonométrica, substituindo a variável original por uma função trigonométrica de uma nova variável e o diferencial original pelo diferencial da função trigonométrica.

A integração por substituição pode ser demonstrada a partir do teorema fundamental do cálculo como segue. Sejam f e φ duas funções satisfazendo as hipóteses acima de que f é contínua sobre I e φ′ é integrável sobre o intervalo fechado [a,b]. Então a função f(φ(x))φ′(x) é também integrável sobre [a,b]. Portanto as integrais

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx}$

e

${\displaystyle \int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du}$

existem de fato, e resta mostrar que as mesmas são iguais.

Como f é contínua, a mesma possui a antiderivada F. A função composta F ∘ φ é então definida. Dado que φ é diferenciável, combinando a regra da cadeia e a definição de uma antiderivada resulta

${\displaystyle (F\circ \varphi )'(x)=F'(\varphi (x))\varphi '(x)=f(\varphi (x))\varphi '(x).}$

Aplicando o teorema fundamental do cálculo duas vezes resulta

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(\varphi (x))\varphi '(x)\,dx&=\int _{a}^{b}(F\circ \varphi )'(x)\,dx\\&=(F\circ \varphi )(b)-(F\circ \varphi )(a)\\&=F(\varphi (b))-F(\varphi (a))\\&=\int _{\varphi (a)}^{\varphi (b)}f(u)\,du,\end{aligned}}}$

que é a regra da substituição.

Considere a integral

${\displaystyle \int _{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)dx.}$

Faça a substituição ${\displaystyle u=x^{2}+1}$ para obter ${\displaystyle du=2xdx}$, significando ${\displaystyle \textstyle xdx={\frac {1}{2}}du}$. Portanto,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}(\operatorname {sen}(5)-\operatorname {sen}(1)).\end{aligned}}}$

Como o limite inferior ${\displaystyle x=0}$ foi substituído por ${\displaystyle u=1}$ e o limite superior ${\displaystyle x=2}$ por ${\displaystyle 2^{2}+1=5}$, uma transformação de volta em termos de ${\displaystyle x}$ não é necessária.