Regra do quociente

Em matemática, a regra do quociente (ver derivada), rege a diferenciação de quocientes de funções diferenciáveis.

Cálculo
Teorema fundamental Limite de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Cálculo Definições Derivada Diferencial Diferencial de uma função Generalizações da derivada Conceitos Notações para diferenciação Segunda derivada Terceira derivada Mudança de variáveis Derivação implícita Taxas relativas Teorema de Taylor Tabela de derivadas Somas Produto Regra da cadeia Potências Quocientes Fórmula de Faà di Bruno
Cálculo integral Tábua de integrais Definições Primitiva Integral Integral imprópria Integral de Riemann Integral de Lebesgue Integral de linha Integração por partes discos cascas cilíndricas substituição substituição trigonométrica Frações parciais mudança de ordem fórmulas de redução
Série Geométrica Aritmético-geométrica Harmônica Alternada Potências Binomial Taylor Laurent Fourier Testes de convergência Teste da divergência Razão Raiz Integral Comparação direta Comparação no limite Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Cálculo vetorial Gradiente Divergência Rotacional Laplaciano Teorema do gradiente Teorema de Green Teorema de Stokes Teorema da divergência Derivada direcional
Cálculo com múltiplas variáveis Formalismo Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivada parcial Integral múltipla Integral de linha Integral de superfície Integral de volume Matriz jacobiana
Cálculo especializado Cálculo de variações Fracional Malliavin Estocástico

Pode ser apresentada como:

\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {gf'-fg'}{g^{2}}}

ou, segundo a notação de Leibniz:

{\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}.

Demonstração:

f(x)={\frac {u(x)}{v(x)}}\ (I)

Então $u(x)=f(x)\cdot v(x)$

Pela regra do produto:

u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+f(x)\cdot v'(x)\ (II)

Utilizando (I) e (II), temos:

u'(x)=f'(x)\cdot v(x)+{\frac {u(x)}{v(x)}}\cdot v'(x)

u'(x)={\frac {f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)}{v(x)}}

u'(x)\cdot v(x)=f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)

u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)=f'(x)\cdot v(x)\cdot v(x)

{\frac {u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{v(x)^{2}}}=f'(x)

f'(x)={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}

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