Integral de Tchebychev

A Integral de Tchebychev é formulada por

Teorema — $\int x^{p}(1-x)^{q}dx=B(x;1+p,1+q)$

Pafnuty L. Chebyshev — (1821-1894)

onde $B(x;a,b)$ é a função beta incompleta.[1]

Teorema de integração dos binômios diferenciais

Tchebychev demostrou que as integrais indefinidas binômicas da forma:[2]

\int x^{m}(a+b\,x^{n})^{p}dx

onde $a$ e $b$ são números reais e $m$ , $n$ e $p$ são números racionais, não podem ser expressos em termos de funções elementares para qualquer $m$ , $n$ e $p$ , exceto no caso em que (pelo menos) uma das condições é satisfeita:[3][4]

$p$ é um número inteiro;

Expande-se

(a+b\,x^{n})^{p}

pela fórmula binomial, escrevemos o integrando como uma função racional dos radicais simples

{\sqrt[{c}]{x^{i}}}=x^{\frac {i}{c}}

. Então a substituição

x=t^{r}

, onde

r

é o maior de todos os denominadores

c

, removerá completamente os radicais.[5]

${\frac {m+1}{n}}$ é um número inteiro;

Substitui-se

a+b\,x^{n}=t^{k}

onde

k

é o denominador de

p

,[4] ou seja,

x={\sqrt[{n}]{\frac {t^{k}-a}{b}}}

e

x^{m}={\biggl (}{\frac {t^{k}-a}{b}}{\biggr )}^{\frac {m}{n}}

.[6]

$p+{\frac {m+1}{n}}$ é um número inteiro.

Substitui-se

ax^{-n}+b=t^{k}

onde

k

é o denominador de

p

.[5][4]

Caso nenhuma condição seja satisfeita, a não função não pode ser representada por funções elementares.[7]

Exemplo

$\int x^{3}(1+2x^{2})^{-{\frac {3}{2}}}dx$ ,[4] onde $p=-{\frac {3}{2}}$ , $n=2$ e $m=3$ , ou seja, ${\frac {m+1}{n}}={\frac {3+1}{2}}=2$ .

Logo, $1+2x^{2}=z^{2}\longrightarrow x={\sqrt {\frac {z^{2}-1}{2}}}\longrightarrow dx={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}dz$ .

Assim, $F(x)=\int {\bigg (}{\frac {z^{2}-1}{2}}{\biggr )}^{\frac {3}{2}}(z^{2})^{-{\frac {3}{2}}}z(z^{2}-1)^{-{\frac {1}{2}}}dz={\frac {1}{4}}\int z^{-2}(z^{2}-1)dz={\frac {1}{4}}\int {\biggl (}1-{\frac {1}{z^{2}}}{\biggl )}dz={\frac {1}{4}}{\biggr (}z+{\frac {1}{z}}{\biggr )}+C={\frac {1}{4}}{\biggr (}{\sqrt {1+2x^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {1+2x^{2}}}}{\biggr )}+C.$

Ver também

Função beta incompleta.

Referências

Weisstein, Eric W. «Chebyshev Integral». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 28 de outubro de 2019
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Differential binomial», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
«Differential binomial - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org. Consultado em 28 de outubro de 2019
Demidovǐc, Boris P.; Baranenkov, G. (1964). Problems in mathematical analysis. Moscow(IS): Moskva. ISBN 0846407612. OCLC 799468131
Boyadzhiev, Khristo N. (2006). «CHEBYSHE» (PDF). Integrals of differential binomials and Chebyshev’s criterion
Harris, Claus, Mitchell, Jon. «advanced integration techniques» (PDF). ADVANCED TECHNIQUES OF INTEGRATION
Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Chebyshev theorem on the integration of binomial differentials», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer

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[1] Weisstein, Eric W. «Chebyshev Integral». mathworld.wolfram.com (em inglês). Consultado em 28 de outubro de 2019

[2] Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Differential binomial», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer

[3] «Differential binomial - Encyclopedia of Mathematics». www.encyclopediaofmath.org. Consultado em 28 de outubro de 2019

[:0-4] Demidovǐc, Boris P.; Baranenkov, G. (1964). Problems in mathematical analysis. Moscow(IS): Moskva. ISBN 0846407612. OCLC 799468131

[:1-5] Boyadzhiev, Khristo N. (2006). «CHEBYSHE» (PDF). Integrals of differential binomials and Chebyshev’s criterion

[6] Harris, Claus, Mitchell, Jon. «advanced integration techniques» (PDF). ADVANCED TECHNIQUES OF INTEGRATION

[7] Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Chebyshev theorem on the integration of binomial differentials», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer

Funções
Tipos	Analítica • Bijetora • Convexa • Divisor • Elementar • Exponencial • Fatorial • Identidade • Inclusão • Inteira • Inversa • Iterada • Limitada • Integral de Tchebychev • Logaritmo • Logaritmo natural • Monótona • Parcial • Polinomial • Retangular • Simples • Sinal • Sobrejetora • Suave
Trigonométricas	Seno • Cosseno • Tangente • Cotangente • Secante • Cossecante
Hiperbólicas	Seno hiperbólico • Cosseno hiperbólico • Tangente hiperbólica • Cotangente hiperbólica • Secante hiperbólica • Cossecante hiperbólica
Famosas	Ackermann • Bessel • Dirichlet • Gama • Heaviside • Mertens • Möbius • Weierstrass
Conceitos	Assimptota/Assíntota • Curva • Derivada • Espaço funcional • Espaço Lp • Gráficos • Integral • Limite • Injectividade • Parte inteira • Primitiva • Projeção • Reta
Funções em economia	Demanda • Oferta • Utilidade