Tangente hiperbólica

A tangente hiperbólica é uma função hiperbólica. É obtida a partir da razão entre o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico, de forma similar à relação trigonométrica da tangente. É representado por ${\text{tgh}}(x)$ ou $\tanh(x)$ e expresso matematicamente por:[1][2]

\tanh(x)={\operatorname {senh} (x) \over \cosh(x)}={{e^{x}-e^{-x} \over 2} \over {e^{x}+e^{-x} \over 2}}

Gráfico da função cotangente hiperbólica.

Que, por fim, resulta em:

\tanh(x)={e^{x}-e^{-x} \over {e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}

Características

O domínio da função está definido para $(-\infty ,+\infty )$ e seu contradomínio fica definido para o intervalo $(-1,1)$ . A função apresenta uma assíntota horizontal em $y=-1$ e em $y=1$ .

Derivada

A derivada da função é:[2]

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x=1-\,\mathrm {tanh} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}=\operatorname {sech} ^{2}x

Identidades trigonométricas

A função tangente hiperbólica, como demonstra o teorema de adição, pode-se ser sintetizada como:[2]

\tanh(\alpha +\beta )={\frac {\tanh \alpha +\tanh \beta }{1+\tanh \alpha \,\tanh \beta }}

De modo que quando $\alpha =\beta$ , temos

\tanh(2\alpha )={\frac {2\tanh \alpha }{1+\tanh ^{2}\alpha }}

De modo similar, podemos encontrar

\tanh(\alpha -\beta )={\frac {\tanh \alpha -\tanh \beta }{1-\tanh \alpha \,\tanh \beta }}

Referências

Luiza Amalia Pinto Cantão; Renato Fernandes Cantão (2006). «Funções Hiperbólicas» (PDF). Unesp. Consultado em 22 de janeiro de 2023
Jonas José Cruz dos Santos (julho de 2015). «Estudo e Aplicações das Funções Hiperbólicas» (PDF). UFPB. Consultado em 21 de janeiro de 2023

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[1] Luiza Amalia Pinto Cantão; Renato Fernandes Cantão (2006). «Funções Hiperbólicas» (PDF). Unesp. Consultado em 22 de janeiro de 2023

[ufpb-2] Jonas José Cruz dos Santos (julho de 2015). «Estudo e Aplicações das Funções Hiperbólicas» (PDF). UFPB. Consultado em 21 de janeiro de 2023

Funções
Tipos	Analítica • Bijetora • Convexa • Divisor • Elementar • Exponencial • Fatorial • Identidade • Inclusão • Inteira • Inversa • Iterada • Limitada • Integral de Tchebychev • Logaritmo • Logaritmo natural • Monótona • Parcial • Polinomial • Retangular • Simples • Sinal • Sobrejetora • Suave
Trigonométricas	Seno • Cosseno • Tangente • Cotangente • Secante • Cossecante
Hiperbólicas	Seno hiperbólico • Cosseno hiperbólico • Tangente hiperbólica • Cotangente hiperbólica • Secante hiperbólica • Cossecante hiperbólica
Famosas	Ackermann • Bessel • Dirichlet • Gama • Heaviside • Mertens • Möbius • Weierstrass
Conceitos	Assimptota/Assíntota • Curva • Derivada • Espaço funcional • Espaço Lp • Gráficos • Integral • Limite • Injectividade • Parte inteira • Primitiva • Projeção • Reta
Funções em economia	Demanda • Oferta • Utilidade