Matriz idempotente

É possível construir matrizes idempotentes de forma bem generalizada, a partir de matrizes não simétricas.[5] Seja ${\displaystyle X}$ uma matriz de dimensão ${\displaystyle n\times k}$ com posto ${\displaystyle rank(A)=k}$ . A Matriz de projeção é uma matriz quadrada, idempotente e hermitiana que se encaixa nessa categoria:

${\displaystyle P\equiv X\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}}$, onde ${\displaystyle X^{T}}$ denota a matriz transposta de X e ${\displaystyle \left(X^{T}X\right)^{-1}}$ denota a matriz inversa da matriz ${\displaystyle X^{T}X}$. Esta matriz é chamada de matriz de projeção porque sempre é verdade que ${\displaystyle PX=X}$ [6].

• Uma propriedade importante desta matriz é que, se particionarmos a matriz X de dimensão nXk em duas matrizes ${\displaystyle X_{1}}$ e ${\displaystyle X_{1}}$ de tal forma que ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}X_{1}&X_{2}\end{bmatrix}}}$, então

${\displaystyle PX_{1}=X_{1}}$:[7]

Por exemplo, sejam as matrizes ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}},X_{1}={\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}},X_{2}={\begin{bmatrix}{b}\\{d}\end{bmatrix}}}$. Então,

${\displaystyle PX_{1}=}$${\displaystyle {\begin{matrix}\underbrace {X\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}} \\P\end{matrix}}*{\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}{a}&{c}\\{b}&{d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}{a}&{c}\\{b}&{d}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}}=}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}{a}^{2}+{c}^{2}&{a}{b}+{c}{d}\\{a}{b}+{c}{d}&{b}^{2}+{d}^{2}\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}{a}^{2}+{c}^{2}\\{a}{b}+{c}{d}\end{bmatrix}}}$${\displaystyle ={\begin{bmatrix}{a}\\{c}\end{bmatrix}}}$

• A matriz de projeção é largamente utilizadas em econometria. Na estimação por mínimos quadrados ordinários, por exemplo, a matriz P gera os valores estimados da variável dependente y. Por causa desta propriedade, a matriz P também é chamada de "matriz chapéu" (hat matrix, em inglês)[7]:

${\displaystyle Py=\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}y=X{\hat {\beta }}={\hat {y}}}$

• P é sempre positiva semi-definida.
• Toda matriz de projeção é idempotente, mas o contrário não é verdadeiro. Apenas as matrizes idempotentes que são simétricas (ou seja, cuja transposta é igual a ela mesma) e hermitianas são matrizes de projeção.

• Matriz de aniquilação: ${\displaystyle M\equiv I_{n}-P\equiv I_{n}-X\left(X^{T}X\right)^{-1}X^{T}}$. Esta matriz é chamada de matriz de aniquilação porque sempre é verdade que ${\displaystyle MX=0}$.[6]

A matriz aniquiladora também é bastante útil em econometria. Pode-se provar que, dado um modelo econométrico de mínimos quadrados ordinários

${\displaystyle y=X\beta +\varepsilon =X_{1}\beta _{1}+X_{2}\beta _{2}+\varepsilon }$, sendo ${\displaystyle X_{1},X_{2},\beta _{1},\beta _{2}}$ matrizes, poderemos definir

${\displaystyle M_{1}\equiv I_{n}-X_{1}\left(X_{1}^{T}X_{1}\right)^{-1}X_{1}^{T}}$ e

${\displaystyle M_{2}\equiv I_{n}-X_{2}\left(X_{1}^{T}X_{2}\right)^{-1}X_{2}^{T}}$

E então podemos estimar os coeficientes separadamente[8]:

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{1}=\left(X_{1}^{T}M_{2}X_{1}\right)^{-1}\left(X_{1}^{T}M_{2}y\right)}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{2}=\left(X_{2}^{T}M_{1}X_{2}\right)^{-1}\left(X_{2}^{T}M_{1}y\right)}$