Função identidade

Formalmente, se ${\displaystyle X}$ é um conjunto, a função de identidade ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle X}$ é definida para ser a função com domínio e contradomínio ${\displaystyle X}$ definida por:

${\displaystyle {\begin{matrix}f:&X&\rightarrow &X\\&x&\mapsto &x\end{matrix}}}$

ou seja, ${\displaystyle f(x)=x}$ para todos os elementos ${\displaystyle x}$ em ${\displaystyle X}$.[2]

Em outras palavras, o valor da função ${\displaystyle f(x)}$ em ${\displaystyle X}$ (isto é, o contradomínio) é sempre o mesmo elemento de entrada ${\displaystyle x}$ de ${\displaystyle X}$ (agora considerado como o domínio). A função de identidade em ${\displaystyle X}$ é claramente uma função injetiva, bem como uma função sobrejetiva, por isso também é bijetiva.[3]

A função de identidade ${\displaystyle f}$ em ${\displaystyle X}$ é frequentemente denotada por ${\displaystyle \mathrm {id} _{X}}$.

Na teoria dos conjuntos, onde uma função é definida como um tipo particular de relação binária, a função identidade é dada pela relação de identidade, ou diagonal de ${\displaystyle X}$.

O gráfico da função identidade é uma reta bissetriz do primeiro e terceiro quadrante (x=y), ou seja, a reta passa pela origem (0,0). Por essa mesma razão ele se parece com a função linear.

Se ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$é uma função qualquer, então nós temos ${\displaystyle f\circ \mathrm {id} _{A}=f=\mathrm {id} _{B}\circ f}$(onde "${\displaystyle \circ }$" denota composição de função). Em particular ${\displaystyle \mathrm {id} _{A}}$é o elemento de identidade do monoide de todas as funções de ${\displaystyle A}$ até ${\displaystyle A}$.

Como o elemento de identidade de um monoide é único, pode-se definir alternadamente a função de identidade ${\displaystyle A}$ ser esse elemento de identidade. Tal definição generaliza para o conceito de um morfismo de identidade na teoria de categorias, onde os endomorfismos de ${\displaystyle A}$ não deve ser funções.

• A função identidade é um operador linear, quando aplicado a espaços vetoriais.[4]
• A função identidade nos inteiros positivos é uma função completamente multiplicativa (essencialmente multiplicação por 1), considerada na teoria dos números.[5]
• Em um espaço vetorial ${\displaystyle n}$-dimensional, a função identidade é representada pela matriz identidade ${\displaystyle I_{n}}$, independentemente da base.[6]
• Em um espaço métrico, a identidade é trivialmente uma isometria. Um objeto sem qualquer simetria tem como grupo de simetria o grupo trivial contendo apenas essa isometria (tipo de simetria ${\displaystyle C_{1}}$).[7]
• Em um espaço topológico, a função identidade é sempre contínua.

• função inclusão (por abuso de linguagem, por vezes também se chama identidade à função inclusão)