Teorema de Bayes

Seja um teste de drogas 99% sensível e 99% específico. Isto é, o teste produzirá 99% de resultados verdadeiros positivos para usuários de drogas e 99% de resultados verdadeiros negativos para não-usuários de drogas. Suponha que 0,5% das pessoas são usuárias de drogas. Se um indivíduo selecionado aleatoriamente testar positivo, qual a probabilidade de ele ser usuário de drogas? Isto é, qual a probabilidade de não se cometer um falso positivo?[20]

${\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{usuário}}\mid {\text{+}})&={\frac {P({\text{+}}\mid {\text{usuário}})P({\text{usuário}})}{P(+)}}\\&={\frac {P({\text{+}}\mid {\text{usuário}})P({\text{usuário}})}{P({\text{+}}\mid {\text{usuário}})P({\text{usuário}})+P({\text{+}}\mid {\text{não usuário}})P({\text{não usuário}})}}\\[8pt]&={\frac {0,99\times 0,005}{0,99\times 0,005+0,01\times 0,995}}\\[8pt]&\approx 33,2\%\end{aligned}}}$

Mesmo com a aparente precisão do teste, se um indivíduo testar positivo, é mais provável que ele não seja do que ele seja usuário de drogas. Isto porque o número de não-usuários é muito maior que o número de usuários de drogas. Então, o número de falsos positivos supera o número de positivos verdadeiros. Para usar números concretos, se 1000 indivíduos forem testados, espera–se que 995 não sejam usuários e 5 sejam usuários de drogas. Para os 995 não-usuários de drogas, são esperados ${\displaystyle 0,01\times 995\approx 10}$ falsos positivos. Para os 5 usuários de drogas, são esperados ${\displaystyle 0,99\times 5\approx 5}$ positivos verdadeiros. Isto é, dos 15 resultados positivos, apenas 5 (ou 33%) são genuínos. Isto ilustra a importância da probabilidade condicional e como políticas podem ser equivocadas se as probabilidades condicionais forem negligenciadas.[21][20]

A importância da especificidade pode ser observada calculando–se que, mesmo se a sensibilidade for aumentada para 100% e a especificidade permanecer em 99%, a probabilidade do indivíduo ser um usuário de drogas subirá apenas de 33,2% para 33,4%. Entretanto, se a sensibilidade for mantida em 99% e a especificidade for aumentada para 99,5%, então a probabilidade do indivíduo ser um usuário de droga sobe para cerca de 49,9%.[20]

Na interpretação bayesiana (ou epistemológica), a probabilidade mede o grau de crença. O teorema de Bayes liga o grau de crença em uma posição antes e depois de se considerar as evidências. Por exemplo, acredita–se com 50% de certeza que uma moeda tem o dobro de probabilidade de cair cara. Se a moeda for jogada várias vezes, o grau de crença pode aumentar, diminuir ou se manter igual dependendo dos resultados observados (ver inferência bayesiana).[22]

Para proposição ${\displaystyle A}$ e evidência ${\displaystyle B}$:

• ${\displaystyle P(A)}$ (probabilidade a priori) é o grau de crença inicial em ${\displaystyle A}$;
• ${\displaystyle P(A\mid B)}$ (probabilidade a posteriori) é o grau de crença que representa ${\displaystyle B}$;
• O quociente ${\displaystyle {\frac {P(B\mid A)}{P(B)}}}$ é o suporte que ${\displaystyle B}$ fornece para ${\displaystyle A}$.[22]

Ilustração da interpretação frequentista com o diagrama de árvore. O teorema de Bayes liga as probabilidades condicionais aos seus inversos.

Na interpretação frequencista, a probabilidade mede uma proporção de resultados. Por exemplo, suponha-se que uma experiência seja realizada muitas vezes. ${\displaystyle P(A)}$ é a proporção de resultados com propriedade ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle P(B)}$ é a proporção de resultados com propriedade ${\displaystyle B}$. ${\displaystyle P(B\mid A)}$ é a proporção de resultados com propriedade ${\displaystyle B}$, excluindo os resultados sem propriedade ${\displaystyle A}$, e ${\displaystyle P(A\mid B)}$ é a proporção de resultados com propriedade ${\displaystyle A}$, excluindo os resultados sem propriedade ${\displaystyle B}$.[23]

Para eventos ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, dado ${\displaystyle P(B)\neq 0}$:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}}}$.[25]

Na inferência bayesiana, deseja-se saber o grau de crença em um evento (ou conjunto de eventos) ${\displaystyle A}$, condicionalmente à ocorrência de um evento (ou conjunto de eventos) ${\displaystyle B}$ fixado (quantidade que é conhecida como distribuição a posteriori). O teorema de Bayes mostra que a distribuição a posteriori é proporcional à probabilidade de ${\displaystyle B}$ dado ${\displaystyle A}$ (que corresponde à função de verossimilhança da amostra) vezes a probabilidade de A (chamada de probabilidade a priori ou grau de crença antes da coleta de evidências):

${\displaystyle P(A\mid B)\propto P(A)\times P(B\mid A)\ }$ (proporcionalmente sobre ${\displaystyle A}$ para dado ${\displaystyle B}$).[26][25]

Outra forma do teorema de Bayes que é geralmente encontrada quando são consideradas duas afirmações ou hipóteses concorrentes é:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B\mid A)P(A)+P(B\mid A^{c})P(A^{c})}}}$.[27]

Para proposição ${\displaystyle A}$ e evidência ${\displaystyle B}$:

• ${\displaystyle P(A)}$ (probabilidade a priori) é o grau de crença inicial em ${\displaystyle A}$;
• ${\displaystyle P(A^{c})}$ é a probabilidade correspondente do grau de crença inicial contra ${\displaystyle A}$. ${\displaystyle P(A^{c})=1-P(A)}$;
• ${\displaystyle P(B\mid A)}$ (probabilidade condicional ou verossimilhança) é o grau de crença em ${\displaystyle B}$, dado que a proposição ${\displaystyle A}$ é verdadeira;
• ${\displaystyle P(B\mid A^{c})}$(probabilidade condicional ou verossimilhança) é o grau de crença em ${\displaystyle B}$, dado que a proposição ${\displaystyle A}$ é falsa;
• ${\displaystyle P(A\mid B)}$ (probabilidade a posteriori) é a probabilidade para ${\displaystyle A}$, após considerar ${\displaystyle B}$ para e contra ${\displaystyle A}$.[28]

Para alguma partição ${\displaystyle \{A_{j}\}}$ do espaço amostral, muitas vezes o espaço do evento é dado em termos de ${\displaystyle P(A_{j})}$ e ${\displaystyle P(B\mid A_{j})}$. Isto é útil para calcular ${\displaystyle P(B)}$, usando a lei de probabilidade total:

${\displaystyle P(B)={\sum _{j}P(B\mid A_{j})P(A_{j})}\Rightarrow P(A_{i}\mid B)={\frac {P(B\mid A_{i})\,P(A_{i})}{\sum \limits _{j}P(B\mid A_{j})\,P(A_{j})}}}$.[27]

Diagrama ilustrando o significado do teorema de Bayes como aplicado a um espaço de evento gerado por variáveis aleatórias contínuas ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$. Existe uma instância do teorema de Bayes para cada ponto no domínio. Na prática, estas instâncias podem ser parametrizadas escrevendo as densidades de probabilidade específicas como funções de ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$.

Seja o espaço amostral ${\displaystyle \Omega }$ gerado por duas variáveis aleatórias ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$. Em princípio, o teorema de Bayes aplica–se aos eventos ${\displaystyle A=\{X=x\}}$ e ${\displaystyle B=\{Y=y\}}$. Entretanto, os termos se tornam 0 nos pontos em que qualquer variável tem densidade de probabilidade finita. Para continuar útil, o teorema de Bayes pode ser formulado em termos de densidades relevantes.

Se ${\displaystyle X}$ é contínua e ${\displaystyle Y}$ é discreta,

${\displaystyle f_{X}(x\mid Y=y)={\frac {P(Y=y\mid X=x)\,f_{X}(x)}{P(Y=y)}}.}$[29]

Se ${\displaystyle X}$ é discreta e ${\displaystyle Y}$ é contínua,

${\displaystyle P(X=x\mid Y=y)={\frac {f_{Y}(y\mid X=x)\,P(X=x)}{f_{Y}(y)}}.}$[29]

Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$ são contínuas,

${\displaystyle f_{X}(x\mid Y=y)={\frac {f_{Y}(y\mid X=x)\,f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}},}$

em ${\displaystyle f_{X}}$ e ${\displaystyle f_{Y}}$ representam as funções de distribuição de probabilidade de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, respectivamente.[29]

Diagrama ilustrando como um espaço de evento gerado por variáveis aleatórias contínuas ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$geralmente é concebido.

Um espaço de evento contínuo muitas vezes é dado em termos dos termos do numerador. Então, é útil eliminar o denominador usando a lei de probabilidade total. Para ${\displaystyle f_{Y}(y)}$, isto se torna uma integral:

${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{Y}(y\mid X=\xi )\,f_{X}(\xi )\,d\xi .}$[29]

A regra da Bayes é o teorema de Bayes na forma de chances:

${\displaystyle O(A_{1}:A_{2}\mid B)=O(A_{1}:A_{2})\cdot \Lambda (A_{1}:A_{2}\mid B)}$,

em que

${\displaystyle \Lambda (A_{1}:A_{2}\mid B)={\frac {P(B\mid A_{1})}{P(B\mid A_{2})}}}$

é chamado de fator Bayes ou razão de verossimilhança. As chances entre os dois eventos é simplesmente a razão entre as probabilidades dos dois eventos.

Então,

${\displaystyle O(A_{1}:A_{2})={\frac {P(A_{1})}{P(A_{2})}},}$

${\displaystyle O(A_{1}:A_{2}\mid B)={\frac {P(A_{1}\mid B)}{P(A_{2}\mid B)}}.}$

Portanto, a regra de Bayes afirma que as chances posteriores são as chances iniciais multiplicadas pelo fator de Bayes. Em outras palavras, as probabilidades a posteriori são proporcionais às probabilidades a priori.[30]

O teorema de Bayes pode ser derivado a partir da definição de probabilidade condicional:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}},{\text{ se }}P(B)\neq 0,\!}$

${\displaystyle P(B\mid A)={\frac {P(B\cap A)}{P(A)}},{\text{ se }}P(A)\neq 0,\!}$

pois ${\displaystyle P(B\cap A)=P(A\cap B)}$.

Então,

${\displaystyle P(A\cap B)=P(A\mid B)\,P(B)=P(B\mid A)\,P(A)\!}$

Logo, ajustando-se os termos, tem-se:

${\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},{\text{ se }}P(B)\neq 0.}$[31]

Para duas variáveis aleatórias contínuas ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Y}$, o teorema de Bayes pode ser analogamente derivado da definição de probabilidade condicional:${\displaystyle f_{X}(x\mid Y=y)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{Y}(y)}}}$

${\displaystyle f_{Y}(y\mid X=x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}}$

${\displaystyle f_{X}(x\mid Y=y)={\frac {f_{Y}(y\mid X=x)\,f_{X}(x)}{f_{Y}(y)}}.}$[31]