Epimorfismo (teoria das categorias)

Na teoria das categorias, epimorfismo generaliza o conceito de funções sobrejetivas ou de imagens "suficientemente grandes". Mais precisamente, um epimorfismo (ou epi) é um morfismo $f : x \to y$ numa categoria $C$ com a propriedade de que

h \circ f = k \circ f

implica

h = k

sempre que $z$ é objeto de $C$ e $h, k : y \to z$ são morfismos paralelos. Brevemente, um epimorfismo é uma seta cancelável à direita da composição.[1][2]

O conceito dual a epimorfismo é monomorfismo.

Nota de terminologia: Fora da teoria das categorias, "epimorfismo" pode referir-se a um homomorfismo sobrejetivo.[3]

Exemplos

Na categoria dos conjuntos, na categoria dos grupos (e homomorfismos de grupos) e na categoria de espaços topológicos (e funções contínuas), os epimorfismos são precisamente os mapeamentos sobrejetivos.[2][4]
Na categoria dos anéis, a inclusão $ℤ \to ℚ$ é um epimorfismo não sobrejetivo.[5]
Na categoria dos espaços de Hausdorff, um mapeamento é epimorfismo precisamente quando sua imagem é densa no contradomínio.[4]

Retração

Se $g \circ f = 1 c$ para algumas setas $f : c \to d$ e $g : d \to c$ , $f$ é chamada inversa à direita ou seção e $g$ é chamada inversa à esquerda ou retração. Toda seção é monomorfismo e toda retração é epimorfismo.[2] Eis alguns exemplos de retrações:

Na categoria dos conjuntos, as retrações são precisamente as funções sobrejetivas. (Inclusive, isto é uma das formulações do axioma da escolha.)[6]
Na categoria dos módulos sobre um anel $R$ , um homomorfismo $φ : M \to N$ é uma retração precisamente quando há sequência exata $0\rightarrow \operatorname {nuc} \phi {\xrightarrow {\subseteq }}M{\xrightarrow {\phi }}N\rightarrow 0$ que cinde, isto é, quando há diagrama comutativo ${\begin{array}{c l c l c l c l c}0&\rightarrow &\operatorname {nuc} \phi &\rightarrow &M&{\xrightarrow {\phi }}&N&\rightarrow &0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\\0&\rightarrow &M'_{1}&\rightarrow &M'_{1}\oplus M'_{2}&\rightarrow &M'_{2}&\rightarrow &0\end{array}}$ no qual a setas verticais são isomorfismos, e as duas setas na linha de baixo são definidas por $a \mapsto (a, 0)$ e $(a, b) \mapsto b$ . (O módulo $M$ "cinde-se" em $N$ e o núcleo de $φ$ .) Por isso, retrações são também chamadas de epimorfismos que cindem.[7]

Referências

(Riehl, §1.2)
(Mac Lane, §I.5)
(Aluffi, §III.2.3, rodapé): "Unfortunately, some references define ring epimorphisms as 'surjective ring homomorphisms'; this should be discouraged."
(Adámek, Herrlich, Strecker, §II.7.40)
(Aluffi, §III.2.3)
(Adámek, Herrlich, Strecker, §II.7.25)
(Aluffi, §III.7.2)

Bibliografia

ADÁMEK, Jiří; HERRLICH, Horst; STRECKER, George E. (2004). Abstract and Concrete Categories: The Joy of Cats. [S.l.: s.n.]
RIEHL, Emily (2014). Category Theory in Context. [S.l.: s.n.]
ALUFFI, Paolo (2009). Algebra: Chapter 0. Col: Graduate Studies in Mathematics 1 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4781-7
MAC LANE, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician. Col: Graduate Texts in Mathematics 2 ed. [S.l.]: Springer. ISBN 0-387-98403-8

Ver também

Ligações externas

Categories, Types and Structures por Andrea Asperti e Giuseppe Longo

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[riehlDef-1] (Riehl, §1.2)

[maclaneDef-2] (Mac Lane, §I.5)

[aluffiRodape-3] (Aluffi, §III.2.3, rodapé): "Unfortunately, some references define ring epimorphisms as 'surjective ring homomorphisms'; this should be discouraged."

[accDef-4] (Adámek, Herrlich, Strecker, §II.7.40)

[5] (Aluffi, §III.2.3)

[accRetr-6] (Adámek, Herrlich, Strecker, §II.7.25)

[aluffiCinde-7] (Aluffi, §III.7.2)