Média metálica

Cada número metálico pode ser descrito como a solução positiva da Equação do Segundo Grau a seguir: [9]

${\displaystyle x^{2}-nx=1,\,}$

onde n é um número inteiro positivo qualquer. Esta raiz será a média metálica do número n, descrita por ${\displaystyle [n;n,n,n,...]}$.

Assim, por exemplo, pode-se afirmar com segurança que

${\displaystyle {\frac {48+{\sqrt {2308}}}{2}}}$

é um número metálico pois é solução da equação ${\displaystyle x^{2}-48x=1,\,}$, o que pode ser facilmente averiguado fazendo uso da Fórmula de Bháskara. Ademais, podemos concluir que se trata do 48º número metálico, ou da média metálica de 48. Este valor é aproximadamente 48,0208243. [10]

Razão áurea no pentagrama e razão de prata num octógono.

Assim como o número de ouro tem relação com o pentágono (pela razão ${\displaystyle {\frac {\text{Diagonal}}{\text{Lado}}}}$), o número de prata tem relação com o octógono (também pela razão ${\displaystyle {\frac {\text{Diagonal}}{\text{Lado}}}}$). A razão áurea está conectada com os Números de Fibonacci, e o número de prata tem uma estreita relação com os Números de Pell. [11] Por propriedades advindas de suas relações com essas sequências, podemos dizer que cada número de Fibonacci é a soma do número anterior multiplicada por 1 adicionado do número antes desse,e cada número de Pell é a soma do número anterior multiplicada por 2 adicionado do número antes desse. A razão entre dois números de Fibonacci consecutivos converge para a razão áurea, bem como a razão entre dois números de Pell consecutivos converge para a razão de prata. [12]

Se removermos o maior quadrado possível do retângulo de ouro, obteremos um quadrado com o lado sendo o número de ouro; Se removermos o maior quadrado possível do retângulo de prata, obteremos um quadrado com o lado sendo o número de prata; Se removermos o maior quadrado possível do retângulo de bronze, obteremos um quadrado com o lado sendo o número de bronze.

Razões de ouro, prata e bronze e seus respectivos retângulos.

As propriedades são válidas apenas para números inteiros m, para números não-inteiros as propriedades são similares mas são sutilmente diferentes em alguns quesitos. [13] [4][14][15] A propriedade para potências do número de prata são consequências das propriedades das potências dos números metálicos. Para o número metálico S de m, essa propriedade pode ser descrita como uma recorrência linear de segunda ordem, possibilitando ser generalizada como

${\displaystyle \!\ S_{m}^{n}=K_{n}S_{m}+K_{(n-1)}}$

onde

${\displaystyle \!\ K_{n}=mK_{(n-1)}+K_{(n-2)}.}$

Utilizando as condições iniciais K₀ = 1 e K₁ = m, essa relação de recorrência se transforma em

${\displaystyle \!\ K_{n}={\frac {1}{\sqrt {m^{2}+4}}}{(S_{m}^{n+1}-{(m-S_{m})}^{n+1})}.}$

As potências dos números metálicos também possuem outras propriedades interessantes:[16][17]

Se n é um número inteiro positivo:

${\displaystyle \!\ {S_{m}^{n}-\lfloor S_{m}^{n}\rfloor }=1-S_{m}^{-n}.}$

Além disso,

${\displaystyle \!\ {1 \over {S_{m}^{4}-\lfloor S_{m}^{4}\rfloor }}+\lfloor S_{m}^{4}-1\rfloor =S_{(m^{4}+4m^{2}+1)}}$

${\displaystyle \!\ {1 \over {S_{m}^{6}-\lfloor S_{m}^{6}\rfloor }}+\lfloor S_{m}^{6}-1\rfloor =S_{(m^{6}+6m^{4}+9m^{2}+1)}.}$

Um triângulo de ouro. A razão a:b é equivalente ao número de ouro φ. Num triângulo de prata ele é equivalente a δ_S.

Tem-se também que:

${\displaystyle \!\ S_{m}^{3}=S_{(m^{3}+3m)}}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{5}=S_{(m^{5}+5m^{3}+5m)}}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{7}=S_{(m^{7}+7m^{5}+14m^{3}+7m)}}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{9}=S_{(m^{9}+9m^{7}+27m^{5}+30m^{3}+9m)}}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{11}=S_{(m^{11}+11m^{9}+44m^{7}+77m^{5}+55m^{3}+11m)}.}$

Generalizando:

${\displaystyle \!\ S_{m}^{2n+1}=S_{\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}m^{2k+1}}.}$

O número metálicoS de m também tem a propriedade seguinte:

${\displaystyle \!\ 1/S_{m}=S_{m}-m}$

O que significa que o inverso de um número metálico tem a mesma parte decimal de seu correspondente número metálico. Matematicamente, temos:

${\displaystyle \!\ S_{m}=\lfloor S\rfloor +{S}}$

Para facilitar o desenvolvimento do raciocínio, seja ${\displaystyle a=\lfloor S\rfloor }$ e ${\displaystyle b={S}}$. Então, a propriedade seguinte pe verdadeira:[18]

${\displaystyle \!\ S_{m}^{2}=a^{2}+mb+1.}$

Isso ocorre porque para todo m maior que 0 (${\displaystyle \forall m>0}$), a parte inteira de S_m = m, a = m. Para m > 1, temos então:

${\displaystyle \!\ S_{m}^{2}=ma+mb+1}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{2}=m(a+b)+1}$

${\displaystyle \!\ S_{m}^{2}=m(S_{m})+1.}$

Portanto (${\displaystyle \therefore }$), concluímos que a média metálica de m é solução da equação

${\displaystyle \!\ x^{2}-mx-1=0.}$

Também é importante e útil perceber que o número metálico S de −m é o inverso do número metálico S de m. Matematicamente:

${\displaystyle \!\ 1/S_{m}=S_{(-m)}=S_{m}-m.}$

Outro resultado interessante pode ser obtido mudando ligeiramente a fórmula do número metálico. Se considerarmos o número

${\displaystyle \!\ {\frac {1}{2}}\left(n+{\sqrt {n^{2}+4c}}\right)=R}$

segue que as seguintes propriedades também são verdadeiras:

${\displaystyle \!\ R-\lfloor R\rfloor =c/R}$ de c é real (${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$),

${\displaystyle \!\ \left({1 \over R}\right)c=R-\lfloor \operatorname {Re} (R)\rfloor }$ se c é um número complexo (${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$) com parte real nula, ou seja na forma c = ki, para todo k inteiro positivo (${\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} }$).

O número metálico de m também pode ser obtido a partir da integral [13] [19]

${\displaystyle S_{m}=\int _{0}^{m}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{m+2} \over {2m}}\right)}\,dx.}$

Além da forma clássica de apresentação, as médias metálicas podem ser representadas de outros modos. De forma alternativa, pode-se dizer utilizando os radicais contínuos que o número metálico S de m é dado por

${\displaystyle S:p,q={\sqrt {q+p{\sqrt {q+p{\sqrt {q+p{\sqrt {q+\cdots }}}}}}}}\,.}$

Podemos representar as médias metálicas da seguinte maneira: [20]

Os números metálicos também estão presentes em diversos valores utilizados nas principais relações trigonométricas (seno, cosseno e tangente). Podemos citar os seguintes valores trigonométricos:[26][27]