Método de Runge-Kutta

Um membro da família de métodos Runge–Kutta é usado com tanta frequência que costuma receber o nome de "RK4" ou simplesmente "o método Runge–Kutta".

Seja um problema de valor inicial (PVI) especificado como segue:

$${\displaystyle y'=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.}$$

Então o método RK4 para este problema é dado pelas seguintes equações:

$${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{h \over 6}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right)\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}}$$

onde ${\displaystyle y_{n+1}}$ é a aproximação por RK4 de ${\displaystyle y(t_{n+1}),}$ e

$${\displaystyle {\begin{aligned}k_{1}&=f\left(t_{n},y_{n}\right)\\k_{2}&=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{1}\right)\\k_{3}&=f\left(t_{n}+{h \over 2},y_{n}+{h \over 2}k_{2}\right)\\k_{4}&=f\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right)\\\end{aligned}}}$$

Então, o próximo valor (y_n+1) é determinado pelo valor atual (y_n) somado com o produto do tamanho do intervalo (h) e uma inclinação estimada. A inclinação é uma média ponderada de inclinações:

• k₁ é a inclinação no início do intervalo;
• k₂ é a inclinação no ponto médio do intervalo, usando a inclinação k₁ para determinar o valor de y no ponto t_n + h/2 através do método de Euler;
• k₃ é novamente a inclinação no ponto médio do intervalo, mas agora usando a inclinação k₂ para determinar o valor de y;
• k₄ é a inclinação no final do intervalo, com seu valor y determinado usando k₃.

Ao fazer a média das quatro inclinações, um peso maior é dado para as inclinações no ponto médio:

$${\displaystyle {\mbox{inclinação}}={\frac {k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}}{6}}.}$$

O método RK4 é um método de quarta ordem, significando que o erro por passo é da ordem de h⁵, enquanto o erro total acumulado tem ordem h⁴.

Note que as fórmulas acima são válidas tanto para funções escalares quanto para funções vetoriais (ou seja, quando y pode ser um vetor e ${\displaystyle f}$ um operador). Por exemplo, pode-se integrar a equação de Schrödinger usando o operador Hamiltoniano como função ${\displaystyle f.}$

A família de métodos Runge–Kutta explícitos é uma generalização do método RK4 mencionado acima.

Ela é dada por

$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},}$$

onde

$${\displaystyle k_{1}=f(t_{n},y_{n}),}$$

$${\displaystyle k_{2}=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+a_{21}hk_{1}),}$$

$${\displaystyle k_{3}=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+a_{31}hk_{1}+a_{32}hk_{2}),}$$

$${\displaystyle \vdots }$$

$${\displaystyle k_{s}=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+a_{s1}hk_{1}+a_{s2}hk_{2}+\cdots +a_{s,s-1}hk_{s-1}).}$$

(Nota: as equações acima têm definições diferentes em diferentes textos, apesar de equivalentes).

Para especificar um método em particular, é necessário fornecer o inteiro s (número de estágios), e os coeficiêntes a_ij (para 1 ≤ j <i ≤ s), b_i (para i = 1, 2, ..., s) e c_i (para i = 2, 3, ..., s). Esses dados são geralmente dispostos de forma mnemônica, conhecida como matriz de Butcher (de John Charles Butcher):

	0
	${\displaystyle c_{2}}$	${\displaystyle a_{21}}$
	${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle a_{31}}$	${\displaystyle a_{32}}$
	${\displaystyle \vdots }$	${\displaystyle \vdots }$		${\displaystyle \ddots }$
	${\displaystyle c_{s}}$	${\displaystyle a_{s1}}$	${\displaystyle a_{s2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle a_{s,s-1}}$
		${\displaystyle b_{1}}$	${\displaystyle b_{2}}$	${\displaystyle \cdots }$	${\displaystyle b_{s-1}}$	${\displaystyle b_{s}}$

O método Runge–Kutta é consistente se

$${\displaystyle \sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}\ \mathrm {para} \ i=2,\ldots ,s.}$$

Existem ainda exigências extras se for imposto que o método tenha certa ordem p, significando que o erro de truncamento é O(h^p+1). Tais condições podem ser deduzida da própria definição de erro de truncamento. Por exemplo, um método de 2 estágios tem ordem 2 se b₁ + b₂ = 1, b₂c₂ = 1/2, e b₂a₂₁ = 1/2.

Exemplos

O método RK4 se enquadra nesta categoria. Seu tableau é:

	0
	1/2	1/2
	1/2	0	1/2
	1	0	0	1
		1/6	1/3	1/3	1/6

No entanto, o método Runge–Kutta mais simples é o (forward) Euler, dado pela fórmula ${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n}).}$ Este é o único método Runge–Kutta explícito de um estágio que é consistente. A tableau correspondente é:

	0
		1

Um exemplo de um método de segunda ordem com dois estágios é o método do ponto médio (midpoint method, em inglês)

$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+{\frac {h}{2}}f(t_{n},y_{n})\right).}$$

A tableau correspondente é:

	0
	1/2	1/2
		0	1

Note que este método do 'ponto médio' não é o método RK2 ótimo. Uma alternativa é fornecida pelo método de Heun, onde os 1/2's da tableau acima são simplesmente substituídos por 1's. Caso se queira minimizar o erro de truncamento, o método abaixo deve ser utilizado (Atkinson p. 423). Outros métodos importantes são Fehlberg, Cash-Karp e Dormand-Prince. Leia ainda, o artigo sobre tamanho de passo Adaptativo.

O que segue é um exemplo de uso de um método Runge–Kutta explícito de dois estágios:

para resolver o problema de valor inicial

$${\displaystyle y'=(\tan {y})+1,\quad y(1)=1,\ t\in [1,1.1]}$$

com tamanho de passo h=0.025.

A tableau acima gera as seguintes equações equivalentes que definem o método:

$${\displaystyle k_{1}=y_{n}}$$

$${\displaystyle k_{2}=y_{n}+2/3hf(t_{n},k_{1})}$$

$${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}+h(1/4f(t_{n},k_{1})+3/4f(t_{n}+2/3h,k_{2}))}$$

${\displaystyle t_{0}=1}$
	${\displaystyle y_{0}=1}$
${\displaystyle t_{1}=1.025}$
	${\displaystyle k_{1}=y_{0}=1}$	${\displaystyle f(t_{0},k_{1})=2.557407725}$	${\displaystyle k_{2}=y_{0}+2/3hf(t_{0},k_{1})=1.042623462}$
	${\displaystyle y_{1}=y_{0}+h(1/4*f(t_{0},k_{1})+3/4*f(t_{0}+2/3h,k_{2}))=1.066869388}$
${\displaystyle t_{2}=1.05}$
	${\displaystyle k_{1}=y_{1}=1.066869388}$	${\displaystyle f(t_{1},k_{1})=2.813524695}$	${\displaystyle k_{2}=y_{1}+2/3hf(t_{1},k_{1})=1.113761467}$
	${\displaystyle y_{2}=y_{1}+h(1/4*f(t_{1},k_{1})+3/4*f(t_{1}+2/3h,k_{2}))=1.141332181}$
${\displaystyle t_{3}=1.075}$
	${\displaystyle k_{1}=y_{2}=1.141332181}$	${\displaystyle f(t_{2},k_{1})=3.183536647}$	${\displaystyle k_{2}=y_{2}+2/3hf(t_{2},k_{1})=1.194391125}$
	${\displaystyle y_{3}=y_{2}+h(1/4*f(t_{2},k_{1})+3/4*f(t_{2}+2/3h,k_{2}))=1.227417567}$
${\displaystyle t_{4}=1.1}$
	${\displaystyle k_{1}=y_{3}=1.227417567}$	${\displaystyle f(t_{3},k_{1})=3.796866512}$	${\displaystyle k_{2}=y_{3}+2/3hf(t_{3},k_{1})=1.290698676}$
	${\displaystyle y_{4}=y_{3}+h(1/4*f(t_{3},k_{1})+3/4*f(t_{3}+2/3h,k_{2}))=1.335079087}$

As soluções numéricas correspondem aos valores sublinhados. Note que ${\displaystyle f(t_{i},k_{1})}$ foi calculado evitando refazer os cálculos em ${\displaystyle y_{i}}$s.

• «Runge-Kutta»
• «Método Runge-Kutta de 4ª ordem» (PDF)
• «Método Runge Kutta para E.D.O's»
• «Método de Runge-Kutta». omonitor.io. Consultado em 28 de março de 2016

• J. C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations, ISBN 0471967580
• George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, and Cleve B. Moler. Computer Methods for Mathematical Computations. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1977. (See Chapter 6.)
• Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, and Gerhard Wanner. Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition. Berlin: Springer Verlag, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
• William H. Press, Brian P. Flannery, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1988. (See Sections 16.1 and 16.2.)
• «Runge-Kutta 4th-order method textbook notes, PPT, Matlab Mathematica Maple Mathcad» at Holistic Numerical Methods Institute
• Kendall E. Atkinson. An Introduction to Numerical Analysis. John Wiley & Sons - 1989
• F. Cellier, E. Kofman. Continuous System Simulation. Springer Verlag, 2006. ISBN 0-387-26102-8.